一阶微分方程

可分离变量的方程

$y^{\prime }=f(x)g(y)$

$\int \frac{dy}{g(y)}=\int f(x)dx$

齐次方程

$y^{\prime }=f(\frac{y}{x})$ ，令 $\frac{y}{x}=u$ ，则 $y=ux$ ， $y^{\prime }=u^{\prime }x+u$ ，化成可分离变量的方程

线性方程

$y^{\prime }+P(x)y=Q(x)$

通解 $y=e^{-\int P(x)dx}(\int Q(x)e^{\int P(x)dx}dx+C)$

全微分方程

$dF(x,y)=P(x,y)dx+Q(x,y)dy=0$

判定是否是全微分方程： $\frac{\partial P}{\partial y}=\frac{\partial Q}{\partial x}$

解法：

1. 偏积分
2. 凑微分
3. 线积分

交换 x 和 y

变量代换