反常积分

无穷区间上的反常积分

定义 1 ${\int }_a^{+\infty }f(x)dx={\lim }_{t\to +\infty }{\int }_a^{t}f(x)dx$

定义 2 ${\int }_{-\infty }^{b}f(x)dx={\lim }_{t\to -\infty }{\int }_t^{b}f(x)dx$

定义 3 ${\int }_{-\infty }^{+\infty }f(x)dx={\int }_{-\infty }^{0}f(x)dx+{\int }_0^{+\infty }f(x)dx$

比较判别法

设 $f(x)$ ， $g(x)$ 在 $[a,+\infty )$ 上连续，且 $0\le f(x)\le g(x)$ ，则

1. ${\int }_a^{+\infty }g(x)dx收敛\Rightarrow {\int }_a^{+\infty }f(x)收敛$
2. ${\int }_a^{+\infty }f(x)dx发散\Rightarrow {\int }_a^{+\infty }g(x)发散$

极限形式

设 $f(x)$ ， $g(x)$ 在 $[a,+\infty )$ 上非负连续， ${\lim }_{x\to +\infty }\frac{f(x)}{g(x)}=\lambda$ ，则

1. 当 $\lambda >0$ 时， ${\int }_a^{+\infty }f(x)dx$ 与 ${\int }_a^{+\infty }g(x)dx$ 同敛散
2. 当 $\lambda =0$ 时， ${\int }_a^{+\infty }g(x)dx收敛\Rightarrow {\int }_a^{+\infty }f(x)dx收敛$
3. 当 $\lambda =+\infty$ 时， ${\int }_a^{+\infty }g(x)dx发散\Rightarrow {\int }_a^{+\infty }f(x)dx发散$

常用结论

P 级数 \begin{equation}\int _a ^{+\infty} \frac 1 {x^P}dx\left\{ \begin{aligned} P>1 收敛 \\ P\le 1 发散 \end{aligned} \right. \end{equation}

无界函数的反常积分

设点 $a$ 为函数 $f(x)$ 的瑕点

${\int }_a^{b}f(x)dx={\lim }_{t\to a^{+}}{\int }_t^{b}f(x)dx$

设点 $b$ 为函数 $f(x)$ 的瑕点

${\int }_a^{b}f(x)dx={\lim }_{t\to b^{-}}{\int }_a^{t}f(x)dx$

设点 $c$ 为函数 $f(x)$ 的瑕点( $a<c<b$ )

${\int }_a^{b}f(x)dx={\int }_a^{c}f(x)dx+{\int }_c^{b}f(x)dx$

比较判别法

设 $f(x)$ ， $g(x)$ 在 $(a,b]$ 上连续，且 $0\le f(x)\le g(x)$ ，则

1. ${\int }_a^{b}g(x)dx收敛\Rightarrow {\int }_a^{b}f(x)收敛$
2. ${\int }_a^{b}f(x)dx发散\Rightarrow {\int }_a^{b}g(x)发散$

极限形式

设 $f(x)$ ， $g(x)$ 在 $(a,b]$ 上非负连续， ${\lim }_{x\to a^{+}}\frac{f(x)}{g(x)}=\lambda$ ，则

1. 当 $\lambda >0$ 时， ${\int }_a^{b}f(x)dx$ 与 ${\int }_a^{b}g(x)dx$ 同敛散
2. 当 $\lambda =0$ 时， ${\int }_a^{b}g(x)dx收敛\Rightarrow {\int }_a^{b}f(x)dx收敛$
3. 当 $\lambda =+\infty$ 时， ${\int }_a^{b}g(x)dx发散\Rightarrow {\int }_a^{b}f(x)dx发散$

常用结论

P 级数 \begin{equation}\int _a ^b \frac 1 {(x-a)^P}dx,\int _a^b\frac 1 {(b-x)^P}dx \left\{ \begin{aligned} P<1 收敛 \\ P \ge 1 发散 \end{aligned} \right. \end{equation}

反常积分的敛散性

将任意反常积分（用无穷小代换等方法）化为标准型 $\int \frac{1}{x^{\alpha }l{n}^{\beta }x}dx$

(1) 当 $x\to 0$ （瑕积分）， $\{\begin{array}{r}\alpha <1\\ \alpha =1,\beta >1\end{array}$ ，收敛 (2) 当 $x\to \infty$ （无穷区间）， $\{\begin{array}{r}\alpha >1\\ \alpha =1,\beta >1\end{array}$ ，收敛 (3) 其他情况均发散