定积分

定积分概念

$${\int }_a^{b}f(x)dx=\underset{\lambda \to 0}{\lim }{\Sigma }_{k=1}^{n}f({\xi }_k)\Delta x_k$$

定积分的几何意义

若 $f(x)>0$ ， ${\int }_a^{b}f(x)dx$ 就是 $f(x)$ 在 $a$ 到 $b$ 上的面积 $S$ 若 $f(x)<0$ ， ${\int }_a^{b}f(x)dx=-S$

若 $f(x)$ 在 $a$ 到 $b$ 上会变号，则 ${\int }_a^{b}f(x)dx=x轴上方的面积-x轴下方的面积$ ${\int }_0^a\sqrt{a^2-x^2}dx=\frac{\pi }{4}{a}^2$ ，半径为 $a$ 的圆的面积的 $\frac{1}{4}$

可积性

必要条件

$f(x)$ 有界

充分条件

1. $f(x)$ 在 $[a,b]$ 上连续
2. $f(x)$ 在 $[a,b]$ 上有界且只有有限个间断点
3. $f(x)$ 在 $[a,b]$ 上仅有有限个 第一类间断点

定积分的计算

牛顿-莱布尼兹公式

$${\int }_a^{b}f(x)dx=F(b)-F(a)$$

换元积分法

$${\int }_a^{b}f(x)dx={\int }_{\alpha }^{\beta }f(\phi (t)){\phi }^{\prime }(t)dt$$

分部积分法

$${\int }_a^{b}udv=uv{|}_a^b-{\int }_a^{b}vdu$$

利用奇偶性和周期性

1. ${\int }_{-a}^{a}f(x)dx=0,f(x)为奇函数$
2. ${\int }_{-a}^{a}f(x)dx=2{\int }_0^{a}f(x)dx,f(x)为偶函数$
3. ${\int }_a^{a+T}f(x)dx={\int }_0^{T}f(x)dx,f(x)以T为周期$

区间再现

$${\int }_a^{b}f(x)dx={\int }_a^{b}f(a+b-t)dt$$

利用公式

点火公式

$$\begin{array}{c}{\int }_0^{\frac{\pi }{2}}{\sin }^{n}xdx={\int }_0^{\frac{\pi }{2}}{\cos }^{n}xdx=\{\begin{array}{rlr}& \frac{n-1}{n}\frac{n-3}{n-2}...\frac{1}{2}\frac{\pi }{2},& n是偶数\\ & \frac{n-1}{n}\frac{n-3}{n-2}...\frac{2}{3},& n是奇数\end{array}\end{array}$$

$x$ 乘一个关于 $\sin x$ 的函数

$${\int }_0^{\pi }xf(\sin x)dx=\frac{\pi }{2}{\int }_0^{\pi }f(\sin x)dx$$

分子分母都是 $\sin x$ 和 $\cos x$ 的线性组合

$$\int \frac{a\sin x+b\cos x}{c\sin x+d\cos x}dx=\int \frac{A(c\cos x-d\sin x)+B(c\sin x+d\cos x)}{c\sin x+d\cos x}dx$$

变上限积分

设 $f(x)$ 在 $[a,b]$ 上连续，则 ${\int }_a^{x}f(t)dt$ 在 $[a,b]$ 上可导且 $({\int }_a^{x}f(t)dt{)}^{\prime }=f(x)$

定积分的性质

不等式

1. 若 $f(x)\le g(x)$ ，则 ${\int }_a^{b}f(x)dx\le {\int }_a^{b}g(x)dx,(a\le b)$
2. 若 $f(x)$ 在 $[a,b]$ 上连续，则$m(b-a)\le {\int }_a^{b}f(x)dx\le M(b-a)$
3. $|{\int }_a^{b}f(x)dx|\le {\int }_a^b|f(x)|dx$

中值定理

积分中值定理

若 $f(x)$ 在 $[a,b]$ 上连续，则 ${\int }_a^{b}f(x)dx=f(c)(b-a),a<c<b$

广义积分中值定理

设函数 $f(x)$ 和 $g(x)$ 在 $[a,b]$ 上都连续，且 $g(x)$ 不变号，则至少存在一点 $\xi \in [a,b]$ ，使 ${\int }_a^{b}f(x)g(x)dx=f(\xi ){\int }_a^{b}g(x)dx$

定积分计算

定积分是一个值，不是一个函数

1. 先看是否有奇偶性、周期性，化简原式
2. 定积分的几何意义，看是否是圆的面积
3. 利用公式
4. 区间再现
5. 定积分的计算
6. 先用 变上限积分，对式子求导

柯西积分不等式

$$({\int }_a^{b}f(x)g(x)dx{)}^2\le {\int }_a^b{f}^2(x)dx{\int }_a^b{g}^2(x)dx$$