数制与编码

定点数的编码

定点数分为定点小数和定点整数，主要使用原码、补码、反码和移码表示。

原码

机器数的最高位表示数的符号，其余各位表示数的绝对值。

原码整数的表示范围为 $-(2^n-1)\le x\le 2^n-1$ 。

Tip

零的原码有正零和负零两种形式。

补码

正数的补码等于原码，负数的补码等于模（n+1位补码的模为 $2^{n+1}$ )与该负数绝对值之差。

补码整数的表示范围为 $-2^n\le x\le 2^n-1$ （比原码多表示一个 $-2^n$ ）。

n+1 位补码的几个特殊的补码表示:

1. $[X{]}_{补}$ 求 $[-X{]}_{补}$ ： $[X{]}_{补}$ 连同符号位取反+1
2. $[+0{]}_{补}=[-0{]}_{补}=0,\mathrm{00...0}$
3. $[-1{]}_{补}=2^{n+1}-1=1,\mathrm{11...1}$
4. $[2^n-1{]}_{补}=\mathrm{0.111...1}$
5. $[-2^n{]}_{补}=1,\mathrm{000...0}$

补码与真值之间的转换

正数：等于原码； 负数：符号位为 1，剩余的“各位取反，末位加一”。（也可以是符号位为 1，最右边的 1 和右边不变，左边取反）

变形补码=双符号位补码=模 4 补码

反码

正数：等于原码； 负数：符号位为 1，各位取反

移码

移码就是在真值 $X$ 上加上一个常数，通常是 $2^n$ ，相当于 $X$ 在数轴上向正方向偏移了若干单位，这就是“译码”的由来。

移码和补码仅差一个符号位。

Tip

移码就是把表示范围看作一个数轴，表示范围的最小值看作原点 0，所以$移码00000000=补码的10000000=原码的-2^n$

整数的表示

1. 无符号整数：全部二进制位都是数值位而没有符号位
2. 有符号整数：一般使用补码

强制类型转换

强制类型转换不会改变每s一位的值，仅仅改变解释这串值的方式。

整数扩展

1. 无符号数使用零扩展
2. 补码使用符号扩展