特征值和特征向量

• $n$ 阶矩阵有 $n$ 个特征值。

• 上/下三角矩阵的特征值就是主对角线元素。

• $|A|=\Pi {\lambda }_i$

• $\Sigma {\lambda }_i=\Sigma a_{ii}=tr(A)$

• 不同特征值的特征向量线性无关。

• 若 ${\alpha }_1,{\alpha }_2$ 是矩阵 $A$ 关于特征值 $\lambda$ 的特征向量，则 $k_1{\alpha }_1+k_2{\alpha }_2$ （非 0 时）仍是 A 的关于 $\lambda$ 的特征向量。

• 若 $\alpha ,\beta$ 矩阵 $A$ 不同特征值的特征向量，则 $\alpha +\beta$ 不是 A 的特征向量。

• $k$ 重特征值最多有 $k$ 个线性无关的特征向量。

• 秩为 1 的矩阵至少有 $n-1$ 重特征值为 0。

求特征值不能先对 A 初等变换化简完再求！

矩阵	$A$	$aA+bE$	$A^n$	$f(A)$	$A^{-1}$	$A^{\ast }$	$A^T$	$P^{-1}AP$
特征值	$\lambda$	$a\lambda +b$	${\lambda }^n$	$f(\lambda )$	$\frac{1}{\lambda }$	$\frac{\Vert A\Vert }{\lambda }$	$\lambda$	$\lambda$
特征向量	$\xi$	$\xi$	$\xi$	$\xi$	$\xi$	$\xi$	$\beta$	$P^{-1}\xi$

相似

$P^{-1}AP=B$

• 两者的秩相等。
• 两者的行列式值相等。
• 两者的迹相等。
• 两者拥有同样的特征值，尽管相应的特征向量一般不同。

必要条件

• $A\sim B\Rightarrow A+kE\sim B+kE$
• 若能相似对角化，则 A 和 B 特征值相同

相似对角化

• $A\sim \Lambda \iff A有n个无关的特征向量$ 。
• 一个 $n\times n$ 矩阵 $A$ 如果有 $n$ 个不同特征值，则总是可以对角化的也就是矩阵 $A$ 相似 于对角矩阵 $\Lambda$ 。