导数与微分

导数的定义

$f^{\prime }(x_0)={\lim }_{△x\to 0}\frac{f(x_0+△x)-f(x_0)}{△x}={\lim }_{x\to x_0}\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}$

定理： $可导\iff 左右导数都存在且相等$

导数就是一个特殊的极限，用来刻画函数在某一点的变化率。

可导必连续

若函数 $y=f(x)$ 在点 $x_0$ 处可导，则 $f(x)$ 在点 $x_0$ 处连续。

指的是某一点连续，非整个函数。

可导和连续可导的关系和区别

一阶可导

1. 可以求一阶导数

2. 求出的导数可能连续也可能不连续

3. 一阶导数不可以求极限（不知道一阶导数是否连续）

一阶连续可导

1. 可以求一阶导数

2. 导函数连续，可以用 1 次 洛必达法则

3. 一阶导数可以求极限

二阶可导

1. 具有二阶导数

2. 但是二阶导数的连续性无法确定

3. 二阶导数不可以求极限

4. $f(x)$ 二阶可导，说明一阶连续可导，那么只能用1次洛必达法则

二阶连续可导

1. 具有二阶导数

2. 它的二阶导数是连续的

3. 二阶导数可以求极限

4. $f(x)$ 二阶连续可导，可以用2次洛必达法则

微分的概念

若 $△y=f(x_0+△x)-f(x_0)=A△x+o(△x)$ ，则称 $f(x)$ 在 $x_0$ 处可微。称 $A△x$ 为微分，记为 $dy=Adx$ .

微分是函数改变量的近似值，是函数改变量的一个线性主部。

导数与微分的几何意义

函数 $y=f(X)$ 在点 $x_0$ 处可微的充分必要条件是 $f(x)$ 在点 $x_0$ 处可导，且有 $dy=f^{\prime }(x_0)△x=f^{\prime }(x_0)dx$ .

导数的几何意义： $f^{\prime }(x_0)=tan\alpha$ 表示切线的斜率。

微分的几何意义： $dy=f^{\prime }(x_0)dx$ 切线上的增量。

连续、可导、可微之间的关系

1. 连续不一定可导，连续不一定可微，经典反例为 $f(x)=|x|$
2. 可导一定连续
3. $可导\iff 可微$
4. $f(x)$ 可导 $f^{\prime }(x)$ 连续
5. $f(x)$ 可导， ${\lim }_{x\to x_0}{f}^{\prime }(x)$ 不一定存在，例如 $f(x)=\{\begin{array}{rl}{x}^2\sin \frac{1}{x}& ,x\ne 0\\ 0,x=0& \end{array}$ 处处可导，但是 ${\lim }_{x\to 0}{f}^{\prime }(x)$ 不存在，从而 $f^{\prime }(x)$ 在 $x=0$ 处也不连续。

求导公式

公式	公式
1) $(C{)}^{\prime }=0$	2) $(X_{\alpha }{)}^{\prime }=\alpha x^{\alpha -1}$
3) $(x^x{)}^{\prime }=a^{x}lna$	4) $(e^x{)}^{\prime }=e^x$
5) $(lo{g}_{a}x{)}^{\prime }=\frac{1}{xlna}$	6) $(ln\
7) $(\sin x{)}^{\prime }=\cos x$	8) $(\cos x{)}^{\prime }=-\sin x$
9) $(\tan x{)}^{\prime }={\sec }^{2}x$	10) $(\cot x{)}^{\prime }=-{\csc }^{2}x$
11) $(\sec x{)}^{\prime }=\sec x\tan x$	12) $(\csc x{)}^{\prime }=-\csc x\cot x$
13) $(\arcsin x{)}^{\prime }=\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}$	14) $(\arccos x{)}^{\prime }=-\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}$
15) $(\arctan x{)}^{\prime }=\frac{1}{1+x^2}$	16) $(\mathrm{arccot}x{)}^{\prime }=-\frac{1}{1+x^2}$

求导法则

复合函数求导法（链导法）

$\frac{dy}{dx}=\frac{dy}{du}\frac{du}{dx}=f^{\prime }(u){\phi }^{\prime }(x)$

隐函数求导法

设 $y=y(x)$ 是由方程 $F(x,y)=0$ 所确定的可导函数，为求得 $y^{\prime }$ ，可在方程 $F(x,y)=0$ 两边对 $x$ 求导，可得到一个含有 $y^{\prime }$ 的方程，从中解出 $y^{\prime }$ 即可。

也可用隐函数求导公式 $\frac{dy}{dx}=-\frac{F_x^{\prime }}{F_y^{\prime }}$ 得到。

求完后能用原方程化简的要化简

反函数的导数

若 $x=\phi (y)$ 在某区间单调、可导，且 ${\phi }^{\prime }(y)\ne 0$ ，则其反函数 $y=f(x)$ 在对应区间内也可导且 ${\phi }^{\prime }(y)=\frac{1}{f^{\prime }(x)}$ 或 $\frac{dy}{dx}=\frac{1}{\frac{dx}{dy}}$

反函数的二阶导： ${\phi }^{\prime \prime }(y)=\frac{d{\phi }^{\prime }(y)}{dy}\frac{dy}{dx}$

参数方程求导法

设 $y=y(x)$ 是由参数方程 $\{\begin{array}{r}x=\phi (t)\\ y=\psi (t)\end{array}(\alpha <t<\beta )$ 确定的函数，则

1. 若 $\phi (t)$ 和 $\psi (t)$ 都可导，且 ${\phi }^{\prime }(t)\ne 0$ ，则 $\frac{dy}{dx}=\frac{{\psi }^{\prime }(t)}{{\phi }^{\prime }(t)}$ .
2. 若 $\phi (t)$ 和 $\psi (t)$ 二阶导，且 ${\phi }^{\prime }(t)\ne 0$ ，则 $\frac{d^{2}y}{d{x}^2}=\frac{d}{dt}(\frac{{\psi }^{\prime }(t)}{{\phi }^{\prime }(t)})\frac{1}{{\phi }^{\prime }(t)}$ .

参数方程的二阶导是 $\frac{\frac{dy}{dx}}{dt}\frac{dt}{dx}=\frac{1}{\frac{dx}{dt}}$ ，不能直接把一阶导再对 $t$ 导

对数求导法

如果 $y=y(x)$ 的表达式由多个因式的乘除、乘幂构成，或是幂指函数的形式，可先将函数取对数，然后两边对 $x$ 求导。

高阶导数

$f^{(n)}(x_0)={\lim }_{△x\to 0}\frac{f^{(n-1)}(x_0+△x)-f^{(n-1)}(x_0)}{△x}={\lim }_{x\to x_0}\frac{f^{(n-1)}(x)-f^{(n-1)}(x_0)}{x-x_0}$

常用公式：

1. $(\sin x{)}^{(n)}=\sin (x+n\cdot \frac{\pi }{2})$
2. $(\cos x{)}^{(n)}=\cos (x+n\cdot \frac{\pi }{2})$
3. $(u\pm v{)}^{(n)}=u^{(n)}\pm v^{(n)}$
4. $(uv{)}^{(n)}={\Sigma }_{k=0}^n{C}_n^k{u}^{(k)}{v}^{(n-k)}$

常用方法：

1. 代公式
2. 求一阶 $y^{\prime }$ ，二阶 $y^{\prime \prime }$ ，归纳 $n$ 阶导数 $y^{(n)}$
3. 利用泰勒公式（求特定点的导数值）解析

极坐标下的函数求导法

$x=rcos\theta$ ， $y=rsin\theta$ 转化为直角坐标，再使用参数方程求导法解决