导数应用

微分中值定理

罗尔定理

若：

1. $f(x)$ 在 $[a,b]$ 上连续
2. $f(x)$ 在 $(a,b)$ 上可导
3. $f(a)=f(b)$

则 $\exists \xi \in (a,b)$ ，使 $f^{\prime }(\xi )=0$

罗尔定理推论

若在区间 $I$ 上 $f^{(n)}(x)\ne 0$ ，则方程 $f(x)=0$ 在 $I$ 上最多 $n$ 个实根

拉格朗日定理

若：

1. $f(x)$ 在 $[a,b]$ 上连续
2. $f(x)$ 在 $(a,b)$ 上可导 则 $\exists \xi \in (a,b)$ ，使 $\frac{f(b)-f(a)}{b-a}=f^{\prime }(\xi )$

柯西定理

若：

1. $f(x)$ ， $g(x)$ 在 $[a,b]$ 上连续
2. $f(x)$ ， $g(x)$ 在 $(a,b)$ 内可导，且 $g^{\prime }(x)\ne 0$ 则 $\exists \xi \in (a,b)$ ，使 $\frac{f(b)-f(a)}{g(b)-g(a)}=\frac{f^{\prime }(\xi )}{g^{\prime }(\xi )}$

泰勒定理（拉格朗日余项）

设 $f(x)$ 在区间 $I$ 上 $(n+1)$ 阶可导， $x_0\in I$ ，那么对 $\forall x\in I$ ，至少存在一个 $\xi$ ，使

$$f(x)=f(x_0)+f^{\prime }(x_0)(x-x_0)+...+\frac{f^{(n)}(x_0)}{n!}(x-x_0{)}^n+R_n(x)$$

其中 $R_n(x)=\frac{f^{(n+1)}(\xi )}{(n+1)!}(x-x_0{)}^{n+1}$ ， $\xi$ 在 $x_0$ 与 $x$ 之间.

极值

极值是局部最小值

极值的必要条件

若 $f(x)$ 在 $x_0$ 处取得极值，且在 $x_0$ 可导，则 $f^{\prime }(x_0)=0$ .

可导函数要取得极值只可能在导数为 0 的点

导数等于 0 的点是驻点。

极值点不一定是驻点。（因为极值没有可导的要求，比如 $y=|x|$ ） 驻点也不一定是极值点。（比如 $y=x^3$ ）

极值的充分条件

第一充分条件

设 $f^{\prime }(x_0)=0$ （或 $f(x)$ 在 $x_0$ 处连续 ），且在 $x_0$ 的某去心邻域可导，则 $x_0$ 的左右两边 $f^{\prime }(x)$ 变号时， $f(x)$ 在 $x_0$ 取得极值。

导数等于 0 时或不可导但连续时都成立。

第二充分条件

设 $f(x)$ 在 $x_0$ 处二阶可导，且 $f^{\prime }(x_0)=0$ ， $f^{\prime \prime }(x_0)\ne 0$ ，则：

1. 当 $f^{\prime \prime }(x_0)<0$ ， $f(x)$ 在 $x_0$ 处取得极大值
2. 当 $f^{\prime \prime }(x_0)>0$ ， $f(x)$ 在 $x_0$ 处取得极小值

第三充分条件

设 $f(x)$ 在 $x_0$ 处 $n(n\ge 2)$ 阶可导，且 $f^{\prime }(x_0)=f^{\prime \prime }(x_0)=...=f^{(n-1)}(x_0)=0$ ，但 $f^{(n)}\ne 0$ ，则：

1. 当 $n$ 为偶数时 $f(x)$ 在 $x_0$ 处取得极值。其中当 $f^{(n)}>0$ 时取得极小值，当 $f^{(n)}<0$ 时取得极大值
2. 当 $n$ 为奇数时， $f(x)$ 在 $x_0$ 处无极值

最值

1. 求出范围内的驻点和不可导的点
2. 求出函数值
3. 比较大小

曲线的凹向与拐点

若在区间 $I$ 上 $f^{\prime \prime }(x)>0(<0)$ ，则曲线 $f(x)$ 在 $I$ 上是凹（凸） 的。

拐点：在 $x_0$ 两侧凹凸性相反

判定

把 极值的必要条件 、极值的充分条件中的导数全都抬高一阶（其中第三充分 条件中 $n$ 阶导的奇偶性质相反）

曲线的渐近线

水平渐近线

若 ${\lim }_{x\to \infty }f(x)=A$ ，那么 $y=A$ 是 $f(x)$ 的水平渐近线

垂直渐近线

若 ${\lim }_{x\to x_0}f(x)=\infty$ ，那么 $x=x_0$ 是 $f(x)$ 的垂直渐近线

斜渐近线

若 ${\lim }_{x\to \infty }\frac{f(x)}{x}=a$ ， ${\lim }_{x\to \infty }(f(x)-ax)=b$ ，那么 $y=ax+b$ 是 $f(x)$ 的斜渐近线

平面曲线的曲率

曲率 $K={\lim }_{△s\to 0}|\frac{△\alpha }{△s}|$

曲率的计算

若曲线由 $y=y(x)$ 给出，则 $K=\frac{|y^{\prime \prime }|}{(1+y^{\prime 2}{)}^{\frac{3}{2}}}$

若曲线由参数方程或极坐标方程形式给出，则转换为上面的形式

曲率圆与曲率半径

曲率半径 $R=\frac{1}{K}$

方程根存在性及个数

存在性

1. 利用零点定理，也就是说只要证明 $f(x)$ 在 $[a,b]$ 存在两点 $a\le c<d\le b$ ，且 $f(c)\times f(d)<0$ 即可，那么 $f(x)$ 在 $[c,d]$ 上必存在零根。
2. 利用 罗尔定理，首先构造 $f(x)$ 的原函数 $F(x)$ （即 $F^{\prime }(x)=f(x)$ ），然后证明在 $[a,b]$ 上有点 $a\le c<d\le b$ ，使得 $F(c)=F(d)$ ，那么根据罗尔定理，在 $[c,d]$ 上必有一点 $t$ ，使得 $F^{\prime }(t)=0$ ，也就是 $f(t)=0$ ，因此题目得证。

根的个数

1. 单调性
2. 罗尔定理推论
3. 方程中含有参数 a 要分类讨论的情况，将 a 和 x 分离，可以简化计算

证明函数不等式

1. 构造 $f(x)$
2. 对于有未知数 $a$ 、 $b$ 的不等式，将 $a$ 或 $b$ 设为 $x$ ，转换为函数不等式

微分中值定理有关的证明题

证明存在一个点 $\xi \in (a,b)$ ，使 $F[\xi ,f(\xi ),f^{\prime }(\xi )]=0$

方法：构造辅助函数用 罗尔定理

1. 分析法。根据对预证的结论 $F[\xi ,f(\xi ),f^{\prime }(\xi )]=0$ 的分析，确定 $g(x)$ ，使 $g^{\prime }(x)=F[x,f(x),f^{\prime }(x)]$
2. 微分方程法。预证 $F[\xi ,f(\xi ),f^{\prime }(\xi )]=0$
   1. 求微分方程 $F(x,y,y^{\prime })=0$ 的通解 $H(x,y)=C$
   2. 设辅助函数： $g(x)=H(x,f(x))$

常用辅助方程：

预证	令
$f^{\prime }(\xi )+\lambda f(\xi )=0$	$F(x)=e^{\lambda x}f(x)$
$\alpha f^{\prime }(\xi )+\beta f(\xi )=0$	$F(x)=e^{\frac{\beta }{\alpha }x}f(x);(\alpha \ne 0)$
$f^{\prime }(\xi )+g^{\prime }(\xi )f(\xi )=0$	$F(x)=e^{g(x)}f(x)$
* $f^{\prime }(\xi )+g(\xi )f(\xi )=0$	* $F(x)=e^{\int g(x)dx}f(x)$

证明存在两个点 $\xi ,\eta \in (a,b)$ ，使 $F[\xi ,\eta ,f(\xi ),f(\eta ),f^{\prime }(\xi ),f^{\prime }(\eta )]=0$

不要求 $\xi \ne \eta$

在同一区间 $[a,b]$ 上使用两次中值定理（拉格朗日定理、柯西定理）

要求 $\xi \ne \eta$

将区间 $[a,b]$ 分为两个子区间，在两个子区间上分别用 拉格朗日定理

选中值点 c 分割两个区间，使用逆推法：先带入 c，再根据要求求出 c

证明存在一个中值点 $\xi \in (a,b)$ ，使 $F[\xi ,f^{(n)}(\xi )]\ge 0;(n\ge 2)$

方法：用 泰勒定理（拉格朗日余项），其中 $x_0$ 点选题目中提供函数值和导数值信息多的点（信息一样多时选择有更高阶导数值的）