重极限 连续 偏导数 全微分

重极限

${\lim }_{(x,y)\to (x_0,y_0)}f(x,y)=A$

$(x,y)\to (x_0,y_0)$ 是以任意方式

重极限的性质

1. 局部有界性
2. 保号性
3. 有理运算
4. 极限与无穷小的关系
5. 夹逼性

重极限不能使用洛必达法则

计算简单重极限常用方法

1. 利用极限性质（四则运算法则、夹逼定理）
2. 消去分母中极限为零的因子（有理化、等价无穷小代换）
3. 利用无穷小量与有界变量之积为无穷小量

证明重极限不存在常用方法

沿两种不同路径极限不同（常用 $y=kx$ ）

连续

${\lim }_{(x,y)\to (x_0,y_0)}f(x,y)=f(x_0,y_0)$

连续的性质

若 $f(x,y)$ 在有界闭区域 $D$ 连续，则 $f(x,y)$ 在 $D$ 上有：

1. 有界性。
2. 最值性。 $f(x,y)$ 必有最大值和最小值
3. 介值性。 $f(x,y)$ 可取到最小值与最大值之间的任何值

偏导数

$f_x(x_0,y_0)={\lim }_{\Delta x\to 0}\frac{f(x_0+\Delta x,y_0)-f(x_0,y_0)}{\Delta x}$

二元函数对 $x$ 的偏导一般先代入 $y=y_0$ 后变成一元函数，再对 $x$ 求导，在代入 $x=x_0$

全微分

$\Delta x=f(x_0+\Delta x,y_0+\Delta y)-f(x_0,y_0)=A\Delta x+B\Delta y+o(\rho )$ 其中 $\rho =\sqrt{(\Delta x{)}^2+(\Delta y{)}^2}$

以下 4 条等价：

1. $\Delta x=f(x_0+\Delta x,y_0+\Delta y)-f(x_0,y_0)=A\Delta x+B\Delta y+o(\rho )$
2. ${\lim }_{(\Delta x,\Delta y)\to (0,0)}\frac{[f(x_0+\Delta x,y_0+\Delta y)-f(x_0,y_0)]-[A\Delta x+B\Delta y]}{\sqrt{(\Delta x{)}^2+(\Delta y{)}^2}}=0$
3. $\Delta z=f(x,y)-f(x_0,y_0)=A(x-x_0)+B(y-y_0)+o(\rho )$
4. ${\lim }_{(\Delta x,\Delta y)\to (x_0,y_0)}\frac{[f(x,y)-f(x_0,y_0)]-[A(x-x_0)+B(y-y_0)]}{\sqrt{(x-x_0{)}^2+(y-y_0{)}^2}}=0$

若 $P(x,y)$ 和 $Q(x,y)$ 有一阶连续偏导数，且 $P(x,y)dx+Q(x,y)dy$ 是某一函数的全微分，则

$$\frac{\partial P}{\partial y}=\frac{\partial Q}{\partial x}$$

判定

• 必要条件： $f_x(x_0,y_0)$ 与 $f_y(x_0,y_0)$ 都存在
• 充分条件： $f_x(x,y)$ 和 $f_y(x,y)$ 在 $(x_0,y_0)$ 连续
• 充要条件：
  • 首先要满足必要条件
  • ${\lim }_{(\Delta x,\Delta y)\to (0,0)}\frac{\Delta z-[f_x(x_0,y_0)\Delta x+f_y(x_0,y_0)\Delta y]}{\sqrt{(\Delta x{)}^2+(\Delta y{)}^2}}=0$

连续、可导、可微的关系

二元函数中，可导表示 $f_x(x,y)$ 和 $f_y(x,y)$ 存在，而这两个偏导数只和 x 轴和y 轴两个方向两个方向有关，不能表示全方向都可微，所以二元函数中的可导条件比一元函数中弱很多