极值与最值

无条件极值

必要条件

$f_x(x_0,y_0)=0$ ， $f_y(x_0,y_0)=0$ （可导）

极值点不一定是驻点，驻点也不一定是极值点

充分条件

设 $f_x(x_0,y_0)=0$ ， $f_y(x_0,y_0)=0$

$A=f_{xx}$ $B=f_{xy}$ $C=f_{yy}$

1. 当 $AC-B^2>0$ 时，有极值， $A>0$ ，极小值； $A<0$ ，极大值
2. 当 $AC-B^2<0$ 时，无极值
3. 当 $AC-B^2=0$ 时，不确定，要用定义判定

条件极值与拉格朗日乘数法

求 $f(x,y,z)$ 在条件 $\phi (x,y,z)=0$ ， $\psi (x,y,z)=0$ 条件下的极值

令 $F(x,y,z,\lambda ,\mu )=f(x,y,z)+\lambda \phi (x,y,z)+\mu \psi (x,y,z)$ $\{\begin{array}{r}{F}_x=f_x^{\prime }(x,y,z)+\lambda {\phi }_x^{\prime }(x,y,z)+\mu {\psi }_x^{\prime }(x,y,z)=0\\ F_y=f_y^{\prime }(x,y,z)+\lambda {\phi }_y^{\prime }(x,y,z)+\mu {\psi }_y^{\prime }(x,y,z)=0\\ F_z=f_z^{\prime }(x,y,z)+\lambda {\phi }_z^{\prime }(x,y,z)+\mu {\psi }_z^{\prime }(x,y,z)=0\\ F_{\lambda }=\phi (x,y,z)=0\\ F_{\mu }=\psi (x,y,z)=0\end{array}$

解这个方程组时，若变量 $x,y,z$ 都是一次，也可用线性代数解齐次线性方程组的方法来解

最大最小值

求连续函数 $f(x,y)$ 在有界闭区域 $D$ 上的最大最小值

1. 求 $f(x,y)$ 在 $D$ 内部可能的极值点
2. 求 $f(x,y)$ 在 $D$ 的边界上的最大最小值 若 $f(x,y)$ 和区域边缘的表达式可以消元也可以不用拉格朗日乘数法，例如求 $f(x,y)=x^2+2y^2-x^2{y}^2$ 在条件 $x^2+y^2=4$ 的最值也可以消去 $y$ 使其变成一元函数求最值
3. 比较

不等式形式的求最值

把一边当做限制，求另一边的最值

例如： $p>1,\frac{1}{p}+\frac{1}{q}=1,x,y>0$ ，求证 $xy\le \frac{x^p}{p}+\frac{y^q}{q}$

解：设 $\frac{x^p}{p}+\frac{y^q}{q}=k$ ，求 $xy$ 的最大值，则方程为 $xy+\phi (\frac{x^p}{p}+\frac{y^q}{q}-k)=0$ ，最后求出 $xy$ 的最大值等于 $k$ ，则说明 $xy\le \frac{x^p}{p}+\frac{y^q}{q}$