偏导数与全微分的计算

复合函数求导法

设 $u=u(x,y)$ ， $v=v(x,y)$ 可导， $z=f(u,v)$ 在相应点有连续一阶偏导数，则 $\frac{\partial z}{\partial x}=\frac{\partial f}{\partial u}\frac{\partial u}{\partial x}+\frac{\partial f}{\partial v}\frac{\partial v}{\partial x}$ $\frac{\partial z}{\partial y}=\frac{\partial f}{\partial u}\frac{\partial u}{\partial y}+\frac{\partial f}{\partial v}\frac{\partial v}{\partial y}$

画变量关系的树形图，对 x 偏导，树叶有几个 x 就是由几项相加，除了树根外有几层就是每项由几个相乘。

全微分形式不变性

$dz=\frac{\partial z}{\partial x}dx+\frac{\partial z}{\partial y}dy=\frac{\partial z}{\partial u}du+\frac{\partial z}{\partial v}dv$

隐函数求导法

由一个方程所确定的隐函数

设 $F(x,y,z)$ 有连续一阶偏导数， $F_z\ne 0$ ， $z=z(x,y)$ 由 $F(x,y,z)$ 确定

$F_z\ne 0$ 说明 $z$ 是关于 $x,y$ 的函数

1. 公式 $\frac{\partial z}{\partial x}=-\frac{F_x}{F_z}$ $\frac{\partial z}{\partial y}=-\frac{F_y}{F_z}$
2. 等式两边求导，$z$ 是关于 $x,y$ 的函数

$$F_x+F_z\frac{\partial z}{\partial x}=0$$ $$F_y+F_z\frac{\partial z}{\partial y}=0$$

3. 利用微分形式不变性

$$F_{x}dx+F_{y}dy+F_{z}dz=0$$

Tip

设 $f(x,y)$ 是 $n$ 次齐次函数，则 $x\frac{\partial f}{\partial x}+y\frac{\partial f}{\partial y}=nf(x,y)$