高阶线性微分方程

线性微分方程解的结构（二阶为例）（常系数）

概念

• 齐次方程 $y^{\prime \prime }+p{y}^{\prime }+qy=0$
• 非齐次方程 $y^{\prime \prime }+p{y}^{\prime }+qy=f(x)$

定理 1 如果 $y_1(x)$ 和 $y_2(x)$ 是齐次方程的两个线性无关的特解，那么 $y=C_1{y}_1(x)+C_2{y}_2(x)$ 就是方程的通解

定理 2 如果 $y^{\ast }$ 是非齐次方程的一个特解， $y_1(x)$ 和 $y_2(x)$ 是齐次方程的两个线性无关的特解，则 $y=C_1{y}_1(x)+C_2{y}_2(x)+y^{\ast }$ 是非齐次方程的通解。

非齐次的通解等于齐次的通解加非齐次的特解

定理 3 如果 $y_1^{\ast }(x)$ ， $y_2^{\ast }(x)$ 是非齐次方程的两个特解，则 $y=y_2^{\ast }(x)-y_1^{\ast }(x)$ 是齐次方程的特解

非齐次的两个解的差就是齐次的解

定理 4 如果 $y_1^{\ast }(x)$ ， $y_2^{\ast }(x)$ 分别是方程

$$y^{\prime \prime }+p{y}^{\prime }+qy=f_1(x)$$ $$y^{\prime \prime }+p{y}^{\prime }+qy=f_2(x)$$

的特解，则

$$y_1^{\ast }(x)+y_2^{\ast }(x)$$

是方程

$$y^{\prime \prime }+p{y}^{\prime }+qy=f_1(x)+f_2(x)$$

的一个特解

求常系数齐次线性微分方程 $y^{\prime \prime }+p{y}^{\prime }+qy=0$

特征方程 $r^2+pr+q=0$ ，求出解 $r_1$ ， $r_2$

1. 不等实根： $y=C_1{e}^{r_{1}x}+C_2{e}^{r_{2}x}$
2. 相等实根： $y=C_1{e}^{rx}+C_{2}x{e}^{rx}$
3. 共轭复根： $y=e^{\alpha x}(C_1\cos \beta x+C_2\sin \beta x)$

如果是 n 阶，r 有 n 个解，则根据每个 r 将上面每种类型的解的情况组合起来就是高阶齐次线性微分方程的解。其中相等实根中，若有 m 个相等实根，每一项依次为 $C_1{e}^{rx},C_{2}x{e}^{rx},C_3{x}^2{e}^{rx},C_4{x}^3{e}^{rx},...C_m{x}^{m-1}{e}^{rx}$ ，也就是 x 的次数递增。

求常系数非齐次线性微分方程 $y^{\prime \prime }+p{y}^{\prime }+qy=f(x)$

1. $f(x)=P_m(x)e^{\lambda x}$ ，令 $y^{\ast }=x^k{Q}_m(x)e^{\lambda x}$ ，其中 $k$ 代表 $\lambda$ 是特征方程的 $k$ 重根
2. $f(x)=e^{\alpha x}[P_l(x)\cos \beta x+P_n(x)\sin \beta x]$ ，令 $y^{\ast }=x^k{e}^{\alpha x}[R_m^{(1)}(x)\cos \beta x+R_m^{(2)}(x)\sin \beta x]$ ， $m=max(l,n)$ ，其中 $k$ 代表 $\alpha +i\beta$ 是特征方程的 $k$ 重根