定积分应用

几何应用

旋转体的体积

$V=2\pi \underset{D}{\iint }r(x,y)d\sigma$

已知横截面面积的积分

$S(x)$ 为横截面积关于 $x$ 的函数

$V={\int }_a^{b}S(x)dx$

曲线弧长

$\{\begin{array}{r}x=x(t)\\ y=y(t)\end{array}$

$\alpha \le t\le \beta$

$s={\int }_{\alpha }^{\beta }\sqrt{x^{\prime 2}+y^{\prime 2}}dt$

若是直角坐标系形式，则 $x(t)=x,y(t)=y(x)$ ，

若是极坐标形式，则 $x(t)=r(\theta )\cos \theta$ ， $y(t)=r(\theta )\sin \theta$

旋转体的侧面积

$S=2\pi \int r(x,y)ds$

其中 $ds$ 就是上面曲线弧长的$ds$

物理应用

压力

$压强p=\rho gh$ $压力P=pA$

变力做功

$做功W=FS$ $重力G=mg$

质心

对于平面薄片，面密度为 $\rho (x,y)$ ，D 是薄片所占的平面区域，则计算

$\bar{x}=\frac{\underset{D}{\iint }x\rho (x,y)d\sigma }{\underset{D}{\iint }\rho (x,y)d\sigma }$ , $\bar{y}=\frac{\underset{D}{\iint }y\rho (x,y)d\sigma }{\underset{D}{\iint }\rho (x,y)d\sigma }$