不定积分

原函数的存在性

1. 连续一定有原函数
2. 有第一类间断点一定没有原函数
3. 有第二类间断点有可能有原函数

基本积分公式

序号	公式	公式
1	$(1)\int kdx=kx+C(k为常数)$
2	$(1)\int x^{a}dx=\frac{1}{a+1}{x}^{a+1}+C(a\ne -1)$	$(2)\int \frac{dx}{x}=lnx+C(x\ne 0)$
3	$(1)\int a^{x}dx=\frac{a^x}{lna}+C(a>0,a\ne 1)$	$(2)\int e^{x}dx=e^x+C$
4	$(1)\int \sin xdx=-\cos x+C$	$(2)\int \cos xdx=\sin x+C$
	$(3)\int \tan xdx=-ln\Vert \cos x\Vert +C$	$(4)\int \cot xdx=ln\Vert \sin x\Vert +C$
	$(5)\int \sec xdx=ln\Vert \sec x+\tan x\Vert +C$	$(6)\int \csc xdx=ln\Vert \csc x-\cot x\Vert +C$
	$(7)\int {\sec }^{2}xdx=\tan x+C$	$(8)\int {\csc }^{2}xdx=-\cot x+C$
5	$(1)\int \frac{dx}{\sqrt{1-x^2}}=\arcsin x+C$	$(2)\int \frac{dx}{\sqrt{a^2-x^2}}=\arcsin \frac{x}{a}+C(a>0)$
	$(3)\int \frac{dx}{1+x^2}=\arctan x+C$	$(4)\int \frac{dx}{a^2+x^2}=\frac{1}{a}\arctan \frac{x}{a}+C(a\ne 0)$
	$(5)\int \frac{dx}{x^2-a^2}=\frac{1}{2a}ln\Vert \frac{x-a}{x+a}\Vert +C$	$(6)\int \frac{dx}{\sqrt{x^2+a^2}}=ln\Vert x+\sqrt{x^2+a^2}\Vert +C$
	$(7)\int \frac{dx}{\sqrt{x^2-a^2}}=ln\Vert x+\sqrt{x^2-a^2}\Vert +C$

三种主要积分法

第一类换元法（凑微分法）

若 $\int f(u)du=F(u)+C$ ，且 $\phi (x)$ 可导，则

$$\int f(\phi (x)){\phi }^{\prime }(x)dx=\int f(\phi (x))d\phi (x)=F(\phi (x))+C$$

第二类换元法

设函数 $x=\phi (t)$ 可导，且 ${\phi }^{\prime }(t)\ne 0$ ，又设 $\int f(\phi (t)){\phi }^{\prime }(t)dt=F(t)+C$ ，则

$$\int f(x)dx=\int f(\phi (t)){\phi }^{\prime }(t)dt=F({\phi }^{-1}(x))+C$$

先用 $x=\phi (t)$ 带入求出关于 $t$ 的不定积分，然后再用 $t={\phi }^{-1}(x)$ 反函数带回去得到关于 $x$ 的不定积分

常用代换

1. $\sqrt{a^2-x^2},x=a\sin t(a\cos t)$
2. $\sqrt{a^2+x^2},x=a\tan t$
3. $\sqrt{x^2-a^2},x=a\sec t$

分部积分法

设 $u(x)$ ， $v(x)$ 有连续一阶导数，则

$$\int udv=uv-\int vdu$$

适用情况

1. 两类不同函数相乘时
2. $vdu$ 比 $udv$ 好积： $p_n(x)$ 是关于 $x$ 的多项式
   1. $\int p_n(x)e^{\alpha x}dx$
   2. $\int p_n(x)\sin \alpha xdx$
   3. $\int p_n(x)\cos \alpha xdx$
   4. $\int e^{\alpha x}\sin \beta xdx$
   5. $\int e^{\alpha x}\cos \beta xdx$
   6. $\int p_n(x)lnxdx$
   7. $\int p_n(x)\arctan xdx$
   8. $\int p_n(x)\arcsin xdx$

三类常见可积函数的积分

有理函数积分

$\int R(x)dx$

一般法（部分分式法）

特殊方法（加项减项或凑微分降幂）

三角有理式积分

$\int R(\sin x,\cos x)dx$

一般法（万能代换）

令 $\tan \frac{x}{2}=t$ $\int R(\sin x,\cos x)dx=\int R(\frac{2t}{1+t^2},\frac{1-t^2}{1+t^2})\frac{2}{1+t^2}dt$

特殊方法（三角变形，换元，分部）

1. 若 $R(-\sin x,\cos x)=-R(\sin x,\cos x)$ ，即关于 $\sin x$ 是奇函数 ，则凑 $d\cos x$
2. 若 $R(\sin x,-\cos x)=-R(\sin x,\cos x)$ ，即关于 $\cos x$ 是奇函数，则凑 $d\sin x$
3. 若 $R(-\sin x,-\cos x)=R(\sin x,\cos x)$ ，则凑 $d\tan x$

简单无理函数积分

$\int R(x,\sqrt[n]{\frac{ax+b}{cx+d}})dx$

令 $\sqrt[n]{\frac{ax+b}{cx+d}}=t$