极限

常用结论

• 若 ${\lim }_{n\to \infty }{a}_n=a$ ，则 ${\lim }_{n\to \infty }|a_n|=|a|$ ，反过来不成立
• ${\lim }_{n\to \infty }{a}_n=0\iff {\lim }_{n\to \infty }|a_n|=0$

极限的概念

${\lim }_{x\to x_0}f(x)=A\iff {\lim }_{x\to {x_0}^{+}}f(x)={\lim }_{x\to {x_0}^{-}}f(x)=A$ 函数极限等于 A 等价于函数的左右极限等于 A

需要注意左右求极限的问题主要有三种：

1. 分段函数分界点的极限，而分界点两侧的函数表达式不同（包括绝对值函数）
2. $e^{\infty }$ 型极限（因为 $e^x$ 在 $\pm \infty$ 的极限不同，负无穷趋于 0，正无穷趋于无穷）
3. $\arctan \infty$ 型极限（正无穷趋于 $\frac{\pi }{2}$ ，负无穷趋于 $\frac{\pi }{2}$ ）

极限的性质

1. 局部有界性

如果有 ${\lim }_{x\to x_0}f(x)=L$ ，那么函数 $f(x)$ 在相应的局部是有界的。

2. 保号性

如果 ${\lim }_{x\to x_0}f(x)=L$ ，且 $L>0$ （或 $L<0$ ） ,那么在相应的局部始终有 $f(x)>0$ （或 $f(x)<0$ ）。

如果 $x_0$ 的某去心邻域内 $f(x)>0(或f(x)<0)$ ，且 ${\lim }_{x\to x_0}f(x)=A$ ，那么 $A\ge 0(或A\le 0)$ .因为去心邻域大于（小于）0 不代表在该点就大于（小于）0，有可能等于 0.

极限存在准则

1. 夹逼准则

若存在 $N$ ，当 $n>N$ 时， $x_n\le y_n\le z_n$ ，且 ${\lim }_{n\to \infty }{x}_n={\lim }_{n\to \infty }{z}_n=a$ ，则 ${\lim }_{n\to \infty }{y}_n=a$ .

2. 单调有界准则

单调有界准则必有极限。即单调增、有上界的数列和单调减、有下界的数列都必有极限。

有时候无法判断是单调增还是单调减的时候，仅判断单调和有上下界也可以说明必有极限。

单调性判定方法：

1. 若 $x_{n+1}-x_n\ge 0(\le 0)$ ，则{ $x_n$ }单调增（单调减）
2. 设{ $x_n$ }不变号，
   1. 若 $x_n>0$ ，则当 $\frac{x_{n+1}}{x_n}\ge 1(\le 1)$ ，{ $x_n$ }单调增（单调减）
   2. 若 $x_n<0$ ，则当 $\frac{x_{n+1}}{x_n}\ge 1(\le 1)$ ，{ $x_n$ }单调减（单调增）（和上一条反过来）
3. 设数列{ $x_n$ }由 $x_1=a,x_{n+1}=f(x_n)(n=1,2,...),x_n\in I所确定$
   1. 若 $f(x)$ 在 $I$ 上单调增，则
      1. 当 $x_1<x_2$ 时，{ $x_n$ }单调增
      2. 当 $x_1>x_2$ 时，{ $x_n$ }单调减
   2. 若 $f(x)$ 在 $I$ 上单调减，则{ $x_n$ }不单调

有界性判定方法：

利用基本不等式。

求极限的几种方法

1. 利用有理运算法则

• 非零因子的极限可先求出来。

2. 利用基本极限求极限

3. 利用等价无穷小代换求极限

常用等价无穷小

• $x-\sin x$ ~ $\frac{x^3}{6}$
• $\arcsin x-x$ ~ $\frac{x^3}{6}$ （可由上一个推得）
• $\tan x-x$ ~ $\frac{x^3}{3}$
• $x-\arctan x$ ~ $\frac{x^3}{3}$ （可由上一个推得）
• $x-ln(1+x)$ ~ $\frac{x^2}{2}$
• $(1+\alpha (x){)}^{\beta (x)}$ ~ $\alpha (x)\beta (x)$ $(\alpha (x)\to 0,\alpha (x)\beta (x)\to 0)$
• $1-{\cos }^{\alpha }x$ ~ $\frac{\alpha }{2}{x}^2$ .
• $低阶无穷小+高阶无穷小$ ~ $低阶无穷小$ （因为高阶可以忽略不计）

变上限积分的等价无穷小替换

设 $f(x)$ 和 $g(x)$ 在 $x=a$ 的某邻域内连续，且 ${\lim }_{x\to a}\frac{f(x)}{g(x)}=1$ ，则 ${\int }_a^{x}f(t)dt$ ~ ${\int }_a^{x}g(t)dt$ .

${\int }_0^x{e}^{t^2}dt$ ~ ${\int }_0^{x}1dt$

等价无穷小代换的原则

• 乘除关系可以换
• 减法：两个减项不等价可以换
• 加法：两个加项之比极限 $\ne -1$ 可以换

4. 利用洛必达法则求极限

若：

1. ${\lim }_{x\to x_0}f(x)={\lim }_{x\to x_0}g(x)=0(\infty )$
2. $f(x)$ 和 $g(x)$ 在 $x_0$ 的某去心邻域内可导，且 $g^{\prime }(x)\ne 0$
3. ${\lim }_{x\to x_0}\frac{f^{\prime }(x)}{g^{\prime }(x)}$ 存在 （或 $\infty$ ） 则： ${\lim }_{x\to x_0}\frac{f(x)}{g(x)}={\lim }_{x\to x_0}\frac{f^{\prime }(x)}{g^{\prime }(x)}$

1. $f(x)$ $n$ 阶可导，可以求导到 $n-1$ 阶
2. $f(x)$ $n$ 阶连续可导，可以求导到 $n$ 阶

5. 利用泰勒公式求极限

常用泰勒公式

• $e^x=1+x+\frac{x^2}{2!}+...+\frac{x^n}{n!}+o(x^n)$ .
• $\sin x=x-\frac{x^3}{3!}+...+(-1{)}^{n-1}\frac{x^{2n-1}}{(2n-1)!}+o(x^{2n-1})$ .
• $\cos x=1-\frac{x^2}{2!}+...+(-1{)}^n\frac{x^{2n}}{(2n)!}+o(x^{2n})$ .
• $ln(1+x)=x-\frac{x^2}{2}+...+(-1{)}^{n-1}\frac{x^n}{n}+o(x^n)$ .
• $(1+x{)}^{\alpha }=1+\alpha x+\frac{\alpha (\alpha -1)}{2!}+...+\frac{\alpha (\alpha -1)...(\alpha -n+1)}{n!}{x}^n+o(x^n)$ .

6. 利用夹逼准则 求极限

当随项变化而变化的变化部分是不随项变化而变化的主体部分的次量级时可以用夹逼准则（因为放缩变化部分不会影响整体大小，所以前后相等）

7. 利用定积分定义求极限

1. 求多项和时，当随项变化而变化的变化部分是不随项变化而变化的主体部分的同量级时可以用定积分定义（因为同量级提出一个可爱因子 $\frac{1}{n}$ 之后变化项才会变成 $\frac{k}{n}$ ）

可爱因子标准形式为 $\frac{1}{n}{\Sigma }_{k=1}^{n}f(\frac{k}{n})={\int }_0^{1}f(x)dx$ ，实际应用时，函数也可以是 $f(\frac{2k-1}{2n})$ 等，它的步长还是 $1/n$ ，所以可爱因子还是 $\frac{1}{n}$ 不变。

2. 变限积分求极限，使用 积分中值定理 、 两个函数相乘时的积分中值定理、变上限积分的等价无穷小替换、洛必达法则
3. 使用 夹逼准则

8. 利用 单调有界准则 求极限

求极限的常见题型

0/0 型

1. 洛必达法则
2. 等价代换
3. 泰勒公式
4. 有两个相同形式的相减优先考虑：拉格朗日定理

∞/∞ 型

1. 洛必达法则
2. 分子分母同除以分子和分母中各项最高阶的无穷大（抓大头）

∞ - ∞ 型

1. 通分化为 0/0 型（适用于分式差）
2. 根式有理化 （适用于根式差）
3. 提无穷因子，然后等价代换 或变量代换、泰勒公式

0 · ∞ 型

1. 化为 0/0 型
2. 化为 ∞/∞ 型

1^∞型

1. 凑基本极限： $\lim [1+\phi (x){]}^{\frac{1}{\phi (x)}}=e$ ，其中 $\lim \phi (x)=0(\phi (x)\ne 0)$
2. 改写成指数， $\lim [f(x){]}^{g(x)}=\lim e^{g(x)lnf(x)}$ （幂指函数 $f(x{)}^{g(x)}$ 底数要求>0， $f(x)>0$ ）
3. 利用结论：若 $\lim \alpha (x)=0,\lim \beta (x)=\infty ,且\lim \alpha (x)\beta (x)=A,则\lim [1+\alpha (x){]}^{\beta (x)}=e^A$

∞^0 和 0^0 型

这种形式一定是幂指函数，所以改写成指数形式。

数列极限

1. 不定式

改写成函数形式，再运算。

2. N 项和的数列极限

1. 夹逼准则
2. 利用定积分定义求极限
3. 级数求和

3. N 项连乘的数列极限

1. 夹逼准则
2. 取对数化为 n 项和

4. 递推关系定义的数列

1. 先证数列{ $x_n$ }收敛（常用单调有界准则），然后令 ${\lim }_{n\to \infty }{x}_n=A$ ，等式 $x_{n+1}=f(x_n)$ 两端取极限求出 A
2. 先两端取极限求出 A，得到极限的初步结果，再证明 $\lim |x_n-A|=0$ ，此时 A 一定为其正确的极限

无穷大

常用无穷大的比较

1. 当 $x\to +\infty$ 时， $l{n}^{\alpha }x\ll x^{\beta }\ll a^x$ （ $\alpha >0,\beta >0,a>1$ ）.
2. 当 $n\to \infty$ 时， $l{n}^{\alpha }n\ll n^{\beta }\ll a^n\ll n!\ll n^n$ （ $\alpha >0,\beta >0,a>1$ ）.

无穷大与无穷变量的关系

• 数列{ $x_n$ }是无穷大量： $\forall M>0,\exists N,当n>N时，恒有|x_n|>M.$
• 数列{ $x_n$ }是无界变量： $\forall M>0,\exists N,使|x_n|>M.$

无穷大一定是无界变量；无界变量不一定是无穷大量。