函数

单调性

判定方法：

1. 利用定义
2. 利用导数： $f(x)$ 在区间 $I$ 可导，则
   1. $f^{\prime }(x)>0(<0)\Rightarrow f(x)单调增(单调减)$
   2. $f^{\prime }(x)\ge 0(\le 0)\Rightarrow f(x)单调不减(单调不增)$

性质：

1. $f^{\prime }(x_0)>0$ 不能推出一定存在 $x_0$ 的某领域，在此邻域内 $f(x)$ 单调增。

例如， $f(x)=\{\begin{array}{r}x+2x^2\sin \frac{1}{x},x\ne 0\\ 0,x=0\end{array}$ ， $f^{\prime }(0)={\lim }_{x\to 0}\frac{x+2x^2\sin \frac{1}{x}}{x}=1>0$ ，但 $f(x)$ 在 $x=0$ 的任何邻域内都不单调增，因为 $\sin \frac{1}{x}$ 在 0 点附近波动。

奇偶性

判定方法：

1. 利用定义
2. 设 $f(x)$ 可导，则
   1. $f(x)是奇函数\Rightarrow f^{\prime }(x)是偶函数$ （反过来不能推出）
   2. $f(x)是偶函数\Rightarrow f^{\prime }(x)是奇函数$ （反过来可以推出）
3. 设 $f(x)$ 连续，则
   1. 若 $f(x)奇函数\Rightarrow {\int }_0^{x}f(t)dt$ 是偶函数
   2. 若 $f(x)偶函数\Rightarrow {\int }_0^{x}f(t)dt$ 是奇函数

$f^{\prime }(x)$ 偶函数不能推出 $f(x)$ 奇函数的原因是，在求原函数的过程中，会增加一个常数 C，导致求得的 $f(0)=C$ ，只有 $C=0$ 时才是奇函数。而求积分时，常数 C 被积分上下限抵消，此时 $f^{\prime }(x)$ 偶函数可以推出 $f(x)$ 奇函数。

周期性

判定方法：

1. 利用定义
2. 可导的周期函数其导函数为周期函数
3. 周期函数的原函数不一定是周期函数（如 $1+\cos x$ ）
4. $F(x)={\int }_0^{x}f(t)dt是以T为周期的周期函数\iff {\int }_n^{n+T}f(x)dx=0(n为任意实数)$

周期函数的原函数是周期函数的充要条件是其在一个周期上的积分为零

有界性

判定方法：

1. 利用定义
2. $f(x)在[a,b]上连续\Rightarrow f(x)在[a,b]有界$
3. $f(x)在(a,b)上连续，且f(a^{+})和f(b^{-})存在\Rightarrow f(x)在(a,b)有界$
4. $f^{\prime }(x)在区间I（有限）上有界\Rightarrow f(x)在I上有界$

3. 中的区间 $(a,b)$ 改为无穷区间 $(-\infty ,b)$ ， $(a,+\infty )$ ， $(-\infty ,+\infty )$ 结论仍成立。