等价
矩阵等价
矩阵 A 左乘列满秩矩阵，秩不变 矩阵 A 右乘行满秩矩阵，秩不变
向量组等价
若矩阵 A 经初等行变换成为矩阵 B，行向量组等价。 若矩阵 A 经初等列变换成为矩阵 B，列向量组等价。
矩阵的行变换（如初等行变换）不会改变矩阵的列向量组的线性相关性。 矩阵的列变换（如初等列变换）不会改变矩阵的行向量组的线性相关性。
，表示两个向量组可以互相转化。
矩阵等价与向量组等价的关系
1.两矩阵等价，它们的行向量组与列向量组不一定等价! 2.两个向量组等价，它们作成的矩阵不一定等价!(向量组等价，两向量组中所含向量个数可以不同，但矩阵等价，两矩阵必定具有相同的行数与列数)
如果 可逆， （ 可由 通过初等行变换得到），则
A&C \\ &B \\ \end{bmatrix}\cong \begin{bmatrix} A& \\ &B \\ \end{bmatrix}$$ 且两个矩阵的行向量等价。 如果 $Q$ 可逆， $C=BQ$ （ $C$ 可由 $B$ 通过初等列变换得到），则 $$\begin{bmatrix} A& \\ C&B \\ \end{bmatrix}\cong \begin{bmatrix} A& \\ &B \\ \end{bmatrix}$$ 且两个矩阵的列向量等价。 ## AC=B 1. 一个满秩的矩阵和一个不满秩的矩阵相乘所得矩阵的秩**取决于不满秩的矩阵的秩**； 2. 两个不满秩的矩阵相乘所得矩阵的秩并不一定就只取决于秩较小的矩阵。 ## 伴随矩阵 1. $AA^*=A^*A=|A|E$ 2. $|A^*|=|A|^{n-1}$ 3. $(kA)^*=k^{n-1}A^*$ 4. $(A^*)^*=|A|^{n-2}A$ 5. $(AB)^*=B^*A^*$ ## 正交矩阵 1. 所有的**行列向量**都是**单位正交向量** 2. $A^T=A^{-1}$ 3. $|A|= \pm 1$ ## 求矩阵的 n 次 1. 求出二次、三次等总结规律找到 $n$ 次 2. 如果是三角矩阵，则将矩阵 A 化成 $nE+B$ 的形式，B 原来的 A 矩阵但是主对角线元素为 0，展开 $(nE+B)^n$ . 3. 利用**特征值和相似的关系**找到 $n$ 次 ## 实对称矩阵 - A 必可 [[矩阵的相似和合同#相似|相似]] 对角化 $Q^{-1}AQ=\Lambda$ - 不同特征值对应的特征向量相互**正交** ## AB=O 的性质 - $r(A)+r(B)\le n$ - $B$ 的每一个列向量都是 $Ax=0$ 的解 ## 分块矩阵 ### 分块对角阵的 $n$ 次\begin{bmatrix} A& & & & \ &B & & & \ & &… & & \ & & &C & \ & & & &D \end{bmatrix}^n= \begin{bmatrix} A^n& & & & \ &B^n & & & \ & &… & & \ & & &C^n & \ & & & &D^n \end{bmatrix}
### 分块对角阵的 $-1$ 次\begin{bmatrix} A& & & & \ &B & & & \ & &… & & \ & & &C & \ & & & &D \end{bmatrix}^{-1}= \begin{bmatrix} A^{-1}& & & & \ &B^{-1} & & & \ & &… & & \ & & &C^{-1} & \ & & & &D^{-1} \end{bmatrix}
### 分块副对角阵的 $-1$ 次\begin{bmatrix} &A \ B& \ \end{bmatrix}^{-1}= \begin{bmatrix} &B^{-1} \ A^{-1}& \ \end{bmatrix}
### 分块三角阵的行列式\begin{vmatrix} A&C \ O&B \end{vmatrix}=\begin{vmatrix} A&O \ C&B \end{vmatrix}=|A||B|
\begin{vmatrix} C&B \ A&O \end{vmatrix}=\begin{vmatrix} O&B \ A&C \end{vmatrix}=(-1)^{mn}|A||B|