方程组

齐次方程组

$齐次方程组有非0解\iff |A|=0$

非齐次方程组

$r({\alpha }_1,{\alpha }_2,{\alpha }_3,...,{\alpha }_s)=r({\alpha }_1,{\alpha }_2,{\alpha }_3,...,{\alpha }_s,\beta )$ 则方程组有解，即 $\beta$ 可由 ${\alpha }_1,{\alpha }_2,...,\alpha s$ 线性表示， $r(A)=r(A,\beta )=n$ 则有唯一解， $r(A)=r(A,\beta )<n$ 则有无穷多解

公共解

求两个方程组的公共解

已知两个方程组

联立两个方程组，求出解，就是公共解。

使用基础解系求公共解

方程组 A的基础解系 ${\alpha }_1,{\alpha }_2,{\alpha }_3$ 另一个方程组 B的基础解系 ${\beta }_1,{\beta }_2$

因为两个方程组的公共解 $\gamma$ 可以用 $\alpha$ 和 $\beta$ 表示，即 $\gamma =x_1{\alpha }_1+x_2{\alpha }_2+x_3{\alpha }_3=-y_1{\beta }_1-y_2{\beta }_2$

则可以获得新的方程组 $({\alpha }_1,{\alpha }_2,{\alpha }_3,{\beta }_1,{\beta }_2)(x_1,x_2,x_3,y_1,y_2{)}^T=0$ 解出新的解求出 $\gamma$ 就是公共解

同解

$Ax=0$ $Bx=0$ $n-r(A)=n-r(B)$

必要条件

$r(A)=r(B)$

Tip

根据 矩阵等价 的性质可得，矩阵 A 左乘一个列满秩矩阵 B，解不变，即： $BAx=0$ 和 $Ax=0$ 同解